Математические основы

Преобразование Фурье

Преобразование Фурье — ключевой математический инструмент в оптике.

\mathcal{F}\{f(x)\} = F(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i \xi x} \, dx

\mathcal{F}^{-1}\{F(\xi)\} = f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} F(\xi) e^{2\pi i \xi x} \, d\xi

Свойство	Формула
Линейность	$\mathcal{F}\lbrace af + bg\rbrace = a\mathcal{F}\lbrace f\rbrace + b\mathcal{F}\lbrace g\rbrace$
Сдвиг	$\mathcal{F}\lbrace f(x-a)\rbrace = e^{-2\pi i a \xi} F(\xi)$
Масштабирование	$\mathcal{F}\lbrace f(ax)\rbrace = \frac{1}{\vert a\vert} F(\xi/a)$
Свёртка	$\mathcal{F}\lbrace f * g\rbrace = F \cdot G$

Световая волна описывается комплексной амплитудой:

E(x,y,z,t) = A(x,y,z) e^{i(\omega t - \phi(x,y,z))}

где:

Оптическая система является линейной инвариантной системой:

g(x,y) = \iint h(x-x', y-y') f(x', y') \, dx' dy' = h * f

где $h(x,y)$ — импульсная характеристика (PSF).