Физика дифракции

Скалярная теория дифракции

В скалярном приближении свет описывается скалярным полем $U(x,y,z)$ , удовлетворяющим уравнению Гельмгольца:

\nabla^2 U + k^2 U = 0

где $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ — волновое число.

При распространении на расстояние $z$ поле преобразуется:

U(x', y', z) = \frac{e^{ikz}}{i\lambda z} \iint U(x, y, 0) \exp\left[\frac{ik}{2z}\left((x'-x)^2 + (y'-y)^2\right)\right] dx \, dy

Приближение Френеля справедливо при:

z^3 \gg \frac{\pi}{4\lambda} \left[(x'-x)^2 + (y'-y)^2\right]_{max}^2

В дальней зоне (при больших $z$ ):

U(x', y') \propto \mathcal{F}\{U(x, y)\}_{f_x = x'/\lambda z, \, f_y = y'/\lambda z}

Дифракционная картина — преобразование Фурье входного поля.

Произвольное поле раскладывается в спектр плоских волн:

U(x, y, 0) = \iint A(f_x, f_y) e^{2\pi i (f_x x + f_y y)} \, df_x df_y

Распространение описывается передаточной функцией:

H(f_x, f_y; z) = \exp\left(ikz\sqrt{1 - \lambda^2 f_x^2 - \lambda^2 f_y^2}\right)